C’est en 1970 qu’une dizaine de jeunes musiciens tous niveaux confondus se retrouvent régulièrement autour d’une passion commune : le désir et la volonté de pratiquer l’improvisation. A ce moment-là, s’intéresser à l’improvisation c’est se référer avant tout aux musiques d’origine afro-américaine -essentiellement le Jazz moderne, voire d’avant-garde, un peu le rock et ce qu’on nommera par la suite la fusion-, et aussi, bien sûr, à la musique indienne et à la musique arabo-persane (maqâm)(1). En 1970 il n’existe pratiquement rien pour cette pratique musicale, ni à Genève ni non plus dans les environs proches. Pas de structure d’enseignement, pas de lieu de production, pas d’endroit de concerts, pas de locaux où répéter. Cette même année, et à l’initiative d’un professeur, le CPM met sur pied un cours de jazz traditionnel à l’adresse des clarinettistes-saxophonistes. L’idée naît alors qu’il serait bon de se constituer en association pour pouvoir développer les outils et les moyens de cette passion collective. C’est ainsi que se constitue l’AMR, en 1973.
En peu de temps, l’Association trouve un lieu pour travailler collectivement la musique improvisée, puis pour développer sa propre transmission, c’est-à-dire l’enseignement : ce sont les Ateliers de l’AMR, qui sont officiellement fondés en 1975. Dans le même mouvement, l’AMR obtient un soutien financier pour organiser quelques concerts, quelques stages, puis pour tenir une antenne permanente. Et dans la foulée, en collaboration avec la commune de Meinier, l’AMR organise son premier festival; l’année d’après, en collaboration avec la Cité Universitaire, c’est le festival Patiño ; plus tard avec la MJC tout d’abord, puis avec le Centre de Loisirs de Carouge, l’AMR obtient des locaux de répétition et d’enseignement réguliers : elle commence à organiser des concerts chaque semaine et des jams sessions de temps à autre; deux ans plus tard, grâce à un contrat avec la salle Patiño et la Cité Universitaire, l’AMR met sur pied une programmation régulière dans une véritable salle de concerts, et créé le festival du Bois de la Bâtie -qui deviendra le festival de la Bâtie- . Enfin, en 1981 l’Association obtient son Centre Musical (Le Sud Des Alpes) qui, petit à petit, est transformé, rénové, et enfin récemment agrandi pour atteindre en 2006 l’objectif projeté en 1973.